Lógica matemática: aprenda de uma vez por todas

Se você é daqueles que acha que estudar matemática é um bicho de sete cabeças, nós podemos te ajudar. Hoje viemos mostrar um pouco sobre o mundo da lógica matemática, uma área que também é estudada na filosofia e que explora as aplicações da lógica formal .

Essa área da matemática surgiu por volta do século XIX, tendo bases no silogismo de Aristóteles, chamado de raciocínio lógico.  

Foi a partir de George Boole e Augustus de Morgan, durante a Idade Contemporânea, que foram apresentados os fundamentos da lógica algébrica. 

Confira agora os princípios da lógica matemática!

Proposições

As proposições se apresentam como o conceito básico nessa área de estudo e são fundamentais para a compreensão do assunto. Elas representam palavras ou símbolos e expressam uma ideia, que só podem receber dois valores, Verdadeiro ou Falso, mas nunca os dois ao mesmo tempo.

E como nem só de números a matemática é feita, geralmente as proposições são representadas pelas letras p e q, sempre minúsculas. Confira o exemplo: 

p – O mar é grande (proposição verdadeira)

q – As nuvens são feitas de algodão (proposição falsa)

ou

p – 4 x 2 = 8

q – 10 ÷ 2 = 6

Com isso, não há possibilidade de existir uma terceira situação diferente de verdadeiro ou falso.

As proposições podem ser classificadas como simples, quando só possui um fato, e composta, quando possui uma ou mais proposições simples. Exemplo:

Proposição simples – O açúcar é doce

Proposição composta – O açúcar é doce e o sal é salgado

Nas proposições compostas, os resultados dos valores lógicos dependem apenas dos valores de cada proposição simples.

Dessa forma, é de costume usar um recurso conhecido como tabela verdade ou tabela de verdade. Nela é possível colocar os valores de cada proposição com os conectivos e  chegar ao valor lógico final.

Para conseguir criar essa tabela, é preciso entender que a quantidade de linhas e de colunas vai depender do número de proposições simples que formam a proposição composta e que em cada coluna se deve colocar uma proposição. Exemplo:

p	q
V	V
F	F
V	F
F	V

Conectivos

As proposições são ligadas entre si por conectivos lógicos, que também podem ser usados para criar novas sentença e mudar ou não o seu valor lógico (Verdadeiro ou Falso)

Quando usamos a proposição “O açúcar é doce e o sal é salgado”, o elemento que liga as duas proposições é o e. 

Se usamos a proposição “O açúcar não é doce”, o elemento não é o conectivo que acaba mudando a proposição para uma falsa. 

Alguns exemplos de conectores que iremos explicar por aqui são:

– ^ (conectivo “e”)

– v (conectivo “ou”)

– → (conectivo “se, então”)

– ↔ (conectivo “se, e somente se”)

Operações Lógicas

Os cálculos feitos a partir das proposições são classificadas como operações lógicas, que seguem a regra do cálculo proposicional.

Essas operações lógicas podem ser classificadas como negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.

Negação

Essa operação representa o  valor lógico oposto de p, sendo a negação de uma determinada proposição, podendo ser representada pelo símbolo “ ~ ”. 

Se uma proposição é verdadeira e representada por p, então a negação dela será representada por ~p ou não p.

p	~p
V	F
F	V

Nessa tabela mostra que, se uma proposição é verdadeira, com a sua negação ela vira falsa, mas se ela for falsa, com a sua negação ela vira verdadeira. 

p: eu gosto de uva

~p: eu não gosto de uva

ou

q: a rua não é grande

~q: a rua é grande

Conjunção

A conjunção é aplicada quando existe o conectivo e entre as proposições. Essa operação se torna verdadeira apenas quando todas as proposições também forem verdadeiras. 

Ela é representada pelo símbolo ^, que deve ser colocada entre as preposições. Com isso, temos a seguinte ilustração:  p ^ q, significa “p e q”.

Dessa forma, poderíamos montar a seguinte tabela verdade:

p	q	p^q
V	V	V
F	F	F
V	F	F
F	V	F

Exemplo:

p: 4×2= 8 e q: 2×2= 5

O valor lógico dessa proposição será falso, porque a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Ela só seria verdadeira caso as duas proposições fossem verdadeiras.

Disjunção

Para esse caso, a disjunção se faz presente quando existe o conectivo ou entre as preposições. Para representar essa operação é usado o símbolo v. Com isso, temos a seguinte ilustração:  p ^ q, significa “p ou q”.

Aqui, se uma das proposições for considerada verdadeira, então o resultado também será verdadeiro. 

p	q	p v q
V	V	V
F	V	V
V	F	V
F	F	F

Condicional

Essa operação é realizada quando possui a existência dos conectivos  se e então. Ela é representada pelo símbolo →. Com isso, p→q significa “… se p, então q …”.

O valor lógico dessa proposição só será falso quando a primeira proposição for verdadeira e a seguinte for falsa.

Nessa situação, não é certo falar que uma proposição é a consequência da outra, porque está se tratando apenas de relações entre valores lógicos.

Exemplo:

Na proposição “Se uma pessoa tem dois olhos, então ela terá uma sobrancelha”, quer dizer que o resultado será falso, já que a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa.

ou 

“Se 5 x 5 é 20, então o quadrado de 5 é 20

Para essa situação, o resultado será falso, já que ambas as preposições não são verdadeiras.

Nesse caso, os valores que podem ser encontrados seriam:

p	q	p→q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Bicondicional

Essa operação é usada para a  proposição que seja “…se e somente se….”

Ela é representada pelo símbolo ↔. Portanto, p ↔ q significa “p se e somente se q”, ou seja, p é condição necessária e suficiente para q.

Nesse caso, o resultado só será verdadeiro quando ambas as proposições forem verdadeiras ou ambas forem falsas.

Para essa situação, teremos uma tabela da seguinte forma:

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Exemplo:

4² = 9 se e somente se 6+3 = 10

Como ambas as proposições são falsas, já que 4² = 16 e 6+3 = 9, então o valor lógico da proposição é verdadeiro.

A Lógica Matemática é um assunto vasto e bastante interessante, sendo de grande importância para a programação de computadores e muito usada em vestibulares.

 Por isso, mesmo que tenha quem duvide, a matemática está no nosso dia a dia é essencial para várias atividades que fazemos.

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Dúvidas mais frequentes sobre lógica matemática

O que estuda a lógica matemática?

A lógica matemática é responsável por analisar proposições tendo como objetivo entender se é uma afirmação verdadeira ou falsa.

Quais os 3 tipos de lógica?

A lógica é frequentemente dividida em três partes: o raciocínio indutivo, o raciocínio abdutivo e o raciocínio dedutivo.

Quais são os princípios da lógica matemática?

Os princípios da lógica matemática são estabelecidos pelas operações: negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.